Numeri irrazionali e ontologia del negativo:
Imre Toth
Nel raccontare nella autobiografia ,
Matematica ed emozioni ( Di Renzo editore ) , gli avvenimenti che hanno
caratterizzato la propria giovinezza , Toth introduce il tema della libertà :
"nella vita , ogni essere umano deve scegliere il proprio
daìmon, ossia
il proprio stile di vita "; infatti
come dice Platone, in
La Repubblica,
«Quando qualcosa non va, gli dèi non hanno colpa: sei tu che hai scelto il tuo
daimòn»: questa è la scelta che rende unica ogni vita e ne esprime l’essenza.
La libertà, secondo Toth, è anche l’essenza della matematica,
definita come un «
un événement de
l’esprit, immerso nel quadro etico-politico della presa di coscienza della
libertà». «La matematica appartiene a questo spirito e lo sviluppo della
matematica non è che un movimento proprio dello spirito».
. Toth afferma dunque che la matematica
attinge alla dimensione della libertà umana , che crea mondi diversi ed opposti
( quali, per esempio,il mondo euclideo e quello non-euclideo).
«La matematica è l’espressione di una
libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi, che è una prerogativa
divina, e questa creazione è veicolata da un atto di cui solo l’essere umano è
capace: la negazione», ossia il dire di no ad un codice già affermato, per
avviarne liberamente un altro.
Ci troviamo quindi dinnanzi ad una concezione
del sapere matematico
problematizzato e esteso a dimensione dello Spirito, caratterizzato, nella sua essenza dalla libera creatività .
Dice Imre Toth "ogni progresso del pensiero
matematico si è effettuato in contraddizione diretta e manifesta con le leggi
formali della logica inferenziale. Ovvero il
Lògos, che governa il movimento
del pensiero matematico, non si lascia ridurre alle leggi della logica" (IRIDE,
43, anno XVII, dicembre 2004, "Deus fons veritatis": il soggetto e la sua
libertà. Il fondamento ontico della verità matematica. Intervista
biografico-teorica di G. Polizzi). Ciò è particolarmente evidente per quanto
concerne il problema dei numeri irrazionali, percepiti come inquietanti non
solo dai Pitagorici.
Leibniz afferma che i numeri immaginari sono
"anfibi mostruosi tra l’essere e il non-essere", ma insieme sono utili;
Carnot scrive che i numeri immaginari sono" inintelleggibili per la loro essenza
e di un’evidente assurdità, un labirinto di paradossi uno più bizzarro
dell’altro;sono
abominevoli non-essere;"(
Riflessioni sulla metafisica
del calcolo infinitesimale): dunque è incompatibile con lo status della
scienza parlare dei numeri immaginari.
Berkeley scrive: "Il mistero dei matematici!
Lo spirito dei matematici trabocca di demenza!" (
The Analyst).
Secondo questo autore i matematici rimproverano ai teologi i loro discorsi sui
misteri, ma la matematica è più misteriosa della Trinità; il Sacramento dell’Eucarestia
è nulla rispetto alle assurdità della matematica, che dice di fondarsi sul lògos
e poi afferma l’esistenza dell’alògos.
In realtà il problema dei numeri irrazionali,
fin dall’inizio della storia della matematica ha evidenziato che la matematica
non è solo razionalità anche se, storicamente, fin dall’antichità si è venuto
delineando una canone matematico di tipo razionalistico, che ha teso a
sommergere, comprimere idee matematiche estranee a quel canone, compromettendo
anche la creatività degli scienziati.
Ma , secondo Imre Toth
, alla luce delle più recenti acquisizioni della matematica sul calcolo
infinitesimale ed in particolare a quelle contemporanee, relative alla geometria
non euclidea, si possono scoprire nella matematica greca, profondità
dimenticate e rimosse a causa di una certa visione della matematica.
Imre Toth ha cercato di ricostruire questa
storia, identificando ed analizzando i passi non-euclidei presenti in Platone ed
Aristotele, e in altri matematici del Settecento e dell’Ottocento , che hanno
proposto testi molto vicini alla geometria non- euclidea di Lobatschewskij e
Bolyai.
Aristotele nel
De coelo, ammette come
ipotesi che è impossibile che un triangolo abbia i 3 angoli pari a 2 angoli
retti, che è come dire che sono possibili triangoli sono non euclidei e
aggiunge: " se le cose stanno così allora anche la diagonale del quadrato sarà
commensurabile" .
Inoltre nell’Etica Eudemia Aristotele indica
la decisione sulla scelta tra assiomi euclidei ( il triangolo euclideo) e non
euclidei ( il triangolo non-euclideo) come esempio di un libero atto di scelta
tra due poli , laddove il ragionamento logico non può dare indicazioni
orientative: l’Ethos è sopra il Logos, la libertà del soggetto, secondo Toth è
il fondamento dell’essere matematico e così sarà anche per Cartesio che sosterrà
che il teorema euclideo , il quale afferma che la somma degli angoli interni di
un triangolo equivale a due angoli retti, è così solo perchè la libertà di Dio
l’ha voluto così , non perchè sia più vero dell’ipotesi contraria.
(
Mèditations mètaphysiques). Ed ancora Aristotele dice che "proveremmo lo
stesso piacere se la somma deglia angoli interni di un triangolo fosse uguale a
due angoli retti, ma anche se non lo fosse": la scelta infatti non dipende da
motivazioni logiche ma dall’ esercizio della libertà del soggetto : come dice
Cantor " L’essenza della matematica sta nella sua libertà"
Relativamente al problema dalla diagonale del
quadrato, che fece emergere il tema dei numeri irrazionali, i Pitagorici avevano
già sviluppato, un procedimento ricorsivo, che Proclo chiama il
teorema
elegante dei Pitagorici, il quale prevede prevede una successione infinita
di valori razionali ( Lògoi) che esprimono gli uni per eccesso e gli altri per
difetto, la misura di segmenti più piccoli e più grande della diagonale del
quadrato. E’ un procedimento che attualmente si chiama "
l’algoritmo di
Euclide" e che Aristotele chiamava antanaìresis. Nella Repubblica,
Platone parla di una successione decrescente e crescente di numeri infiniti, i
quali convergono l’uno verso l’altro, ma non esiste un Lògos che possa
separarli. Esiste invece quella che Platone chiama una
diagonale ineffabile
poichè tra le due successioni non vi è alcun termine aritmentico effabile,
alcuna misura misurabile (Zenone , nel suo argomento relativo ad Achille e la
tartaruga aveva già ammesso che il limite nel quale i due si incontrerebbero
non esiste) ; non esiste il numero irrazionale √2, cioè la diagonale del
quadrato HA una grandezza ben definita MA essa non ha tuttavia lunghezza ed il
numero √2 appartiene al dominio del non-essere ; il simbolo metalinguistico√2 è
dunque il nome di un numero che non esiste. Esso tuttavia dice Platone ha una
sua natura e ha delle proprietà che il soggetto conosce (√2. √2=2), ma non è un
Logos, bensì un Alògos: Platone apre le porte all’ontologia negativa
dell’irrazionale e cioè alla costruzione, che avverrà solo in epoca moderna , di
una matematica infinitesimale e che nello stesso tempo porterà Dedekind a dire
che il numero irrazionale è una pura creazione dello spirito umano.
Toth dice che "
il passaggio dal
non-essere all’essere è il mito del peccato originale del pensiero matematico
specificamente occidentale"( (IRIDE, 43, anno XVII, dicembre 2004, "Deus
fons veritatis": il soggetto e la sua libertà. Il fondamento ontico della verità
matematica. Intervista biografico-teorica di G. Polizzi): paradossi come
quello di Zenone esistono infatti anche nella cultura cinese, ma sono sempre
restati solo giochi di società, in quanto la cultura orientale non ha avuto
sensibilità per la dimensione metafisica del pensiero matematico.
Toth afferma anche che la matematica e
l’arte hanno strutture ontologiche simili: la matematica può porre, definire
sia un tetraedro, che esiste in realtà, sia un pentatopo, la figura più
semplice entro uno spazio quadrimensionale: noi ne abbiamo esatta conoscenza
come quella del tetraedro, ma esso ,come gli altri 5 solidi regolari dello
spazio quadrimensionale, sono corpi che non esistono, sono dei non-esseri. Ora
il cubo a 4 dimensioni è non-essere esattamente come lo è Emma Bovary: ne
abbiamo conoscenza precisa e certa, ma essa non esiste.
"Mi sono reso conto che, da questo
punto di vista, la matematica si può comparare piuttosto all’arte, perché ci
sono solo due forme di sapere esatte: gli Elementi di Euclide e Madame Bovary di
Flaubert. Sembrerebbe una boutade, ma non lo è".
Come è scritto nel Parmenide di Platone: "
Ciò che si chiama il non-essere è non di meno oggetto di conoscenza esattamente
come l’essere", anzi aggiunge Toth: " unicamente il non-essere è conoscibile con
esattezza assoluta".
"Madame Bovary è esattamente come l’ha
descritta Flaubert nel suo libro e non altrimenti", scrive Toth, "quella è
Madame Bovary, e nessuno può introdurre nel libro alcuna variazione: non
possiamo scrivere che il 13 maggio del 1830 Madame Bovary portava un rubino al
collo. Non lo possiamo fare e non possiamo negare qualcosa che è scritto nel
testo di Madame Bovary. Perché non possiamo farlo? Perché l’autore ha descritto
in modo perfetto il suo personaggio: l’ha creato lui. La stessa cosa avviene con
la matematica. Similmente, esiste una scienza, la più vecchia di tutte, l’unica
scienza esatta, che ha la stessa struttura ontologica di un romanzo, con la
differenza, nel contenuto, che Madame Bovary tratta di sentimenti umani e la
matematica no".
Prof.ssa Renata MERLO