2) Matematica e musica

· teoria musicale e matematica nella tradizione pitagorica
Il suono rappresenta quanto c’è di più sfuggente nella realtà fisica sperimentabile. Esso è l’effetto di un fenomeno fisico concreto, eppure non si lascia contenere in alcun recipiente, né trattenere sotto alcuna forma, nemmeno cambiando stato come può fare un gas. Nonostante ciò esiste già i filosofi classici ne scandagliano le possibilità di interferire con l’uomo, fin nel più profondo del suo essere. La sua essenza, misteriosa ma reale, lo porta a divenire simbolo degli aspetti appena intuibili dell’universo, mentre si cerca di misurarne la parte fisica con il numero, strumento unico ed universale di spiegazione della realtà.
Semplice e geniale: i suoni possono essere misurati mettendoli a confronto tra loro. Una corda tesa può produrre un suono ben preciso, la sua metà ne produce un altro esattamente un’ottava più in alto – otto note sopra, oggi diremmo, per esemplificare, due do, uno alto ed uno basso – una seconda nota che, se eseguita contemporaneamente alla prima si allinea ad essa quasi come se fossero la stessa nota; è quanto succede ogni volta che un uomo ed una donna si mettono a cantare la stessa nota senza preoccuparsi di cercare l’unissono: le loro caratteristiche fisiologiche differenti li portano a cantare "in ottava": due note perfettamente "consonanti".
Pitagora ricerca queste consonanze e le definisce numericamente: due note in ottava – per noi due do, due re, ecc – in base alla misurazione delle corde che le producono stanno in rapporto 2 ad 1 ( mezza corda produce l’ottava superiore), due note a distanza di quinta – per noi ad es. un do ed il sol successivo nella scala – stanno in rapporto di 3 a 2 ( due terzi di corda producono la quinta superiore ), analogamente due note a distanza di quarta – ad es. do e fa – stanno in rapporto di 4 a 3, e così via misurando. Tuttavia i rapporti che rappresentano altri intervalli sono espressi con rapporti numerici sempre più complessi e l’effetto simultaneo delle altre coppie di suoni non è altrettanto consonante. Ecco dunque che il concetto di consonanza viene collegato a quello di semplicità, come semplici sono i fondamenti primi dell’universo: la consonanza dei suoni è espressione dell’armonia universale e, per di più, ha un riscontro con l’armonia interiore dell’uomo che deve trovare nella musica un modello ed un aiuto, con tutte le implicazioni etico-musicali del pensiero di Platone

· matematica e musica nella polifonia e nella pratica musicale medievale e rinascimentale
Il pensiero cristiano medioevale recupera, con alcune imprecisioni tecniche, le teorie musicali di quello greco e la teoria musicale approvata dalla Chiesa tiene ferme le esigenze di semplicità ed armonia richieste da Pitagora, caricando con il senso del peccato quanto viene escluso dalla teoria antica. Non solo viene mantenuta la scala di sette note dei Greci, ma si conservano i rapporti numerici tra i suoni suddivisi in consonanti, cioè buoni, raccomandabili e dissonanti, cioè cattivi, proibiti.
Questi concetti sono determinanti nella nascita, davvero rivoluzionaria, dello stile polifonico in quanto la composizione a due o più voci, che risuonano contemporaneamente per tutto il corso del brano, impegna l’autore nella produzione teoricamente, musicalmente e teologicamente corretta di una continua catena di coppie o terne o insiemi ancor più ricchi di suoni. Di qui il fatto che le prime forme di polifonia – X-XI sec. - prevedono che le due voci si muovano producendo solo abbinamenti consonanti di unissono, ottava, quarta e quinta, mentre tutte le altre soluzioni sono escluse a priori.
Tuttavia, così come accade per tutto quanto è legato allo sviluppo della società e della cultura e che per ragioni naturali non può essere congelato per sempre in una stessa forma, ecco che già nel ‘300 si diffondono, nonostante l’opposizione ufficiale della Chiesa, polifonie con voci che si muovono a distanza di intervalli di terza e sesta, definiti furbescamente consonanze imperfette e così via verso una sempre maggiore libertà di azione che, seppure lentamente, conduce alla musica dei tempi moderni.
Un’ulteriore sottolineatura va fatta per ricordare che per molto tempo dell’era cristiana la vera conoscenza musicale è conoscenza solo teorica: scorrendo interi secoli di musica medioevale ci capita di incontrare i nomi dei grandi teorici della musica, mai quelli dei compositori o degli esecutori – evidentemente la vera musica è quella del pensiero, è quella del cosmo, opera di Dio, non quella concreta che viene prodotta dall’uomo talvolta con effetti perversi capaci di allontanarlo dalla retta via!
E’ bene altresì ricordare che l’invenzione dello stile polifonico, ossia di un modo di concepire prima ancora che produrre - magari ad orecchio - la composizione musicale, fatta come un castello razionale e "misurabile" di suoni, rappresenta la base e la caratteristica più propria della musica occidentale e che non sarebbe stata possibile senza una visione matematica dei suoni.
In aggiunta a quanto detto si ricordi che l’evoluzione tecnologica, via via sempre più marcata, ha un peso considerevole nella pratica musicale a partire da tutto quanto scoperto ed applicato nella costruzione degli strumenti musicali, sempre più perfezionati e scientificamente progettati. Il problema della lunghezza delle canne di un organo o della tensione di una corda sono questioni scientificamente esaminate che sfuggono al profano, forse anche all’esecutore, ma che sono assolutamente di primaria importanza nella pratica musicale.

· armonia e fisica nel XVIII secolo
La riflessione sulla musica attraverso il ‘600 ed il ‘700 è attraversata su più fronti da rapporto con il pensiero scientifico. Si vedano per intanto le diatribe di carattere estetico sulla mancanza di razionalità della musica paragonata alla poesia, espressione diretta del pensiero. Ma si vedano anche gli sviluppi degli studi di acustica che, nel frattempo, hanno ben evidenziato il fenomeno dei suoni armonici o concomitanti, di enorme importanza nella pratica strumentale.
Per riassumere argomenti abbastanza astrusi se non presentati dal vivo sperimentalmente, si prenda nota innanzitutto del fatto che qualsiasi corpo sonoro vibrando produce, oltre alla nota "voluta", una serie di suoni, detti armonici, che non vengono distintamente percepiti da chi ascolta, ma che avvolgono come una guaina la nota eseguita formandone il timbro. La serie dei suoni armonici di una qualsiasi nota non è casuale, ma è naturalmente e spontaneamente prodotta dal corpo vibrante con una disposizione immutabile. Ad esempio: un do eseguito da un qualsiasi oggetto naturale viene accompagnato spontaneamente dal do dell’ottava superiore, dal sol ancora superiore, poi dal do due ottave sopra, poi dal mi, dai successivi sol e si bemolle e poi ancora da un do e così via secondo una disposizione che si può provare sperimentalmente con estrema facilità e che è comunque sempre la stessa.
Due sono le letture importanti di questo fenomeno. Per intanto i primi intervalli che vengono riscontrati nella serie armonica sono gli stessi che Pitagora chiama consonanti ( ottava, quinta, quarta), seguiti dalle vecchie consonanze "imperfette"; in secondo luogo, per un musico-teorico del XVIII secolo quale Jean-Philippe Rameau il ritrovare nei primi suoni armonici le note che compongono l’accordo maggiore e la settima di dominante, i due accordi fondamentali della moderna armonia, non è altro che la dimostrazione di quanto sia "naturale" la nostra musica: l’esperienza scientifica dimostra la validità del sistema musicale utilizzato, perfettamente corrispondente a quanto la natura, nella sua perfezione, sa produrre.

· matematica e musica nel XX secolo ( dodecafonia, sperimentalismo, musica elettronica)
La ricerca di nuove strade e nuovi linguaggi propri dell’arte moderna e contemporanea insieme alla forte accelerazione della tecnologia e nuovi strumenti in grado di produrre suono, fanno sì che la musica del ‘900 sia ancora una volta legata a concetti scientifici e matematici.
La musica che, proprio per la sua immaterialità e la sua apparente mancanza di razionalità, viene sospinta al di sopra di tutte le arti dalla filosofia romantica, all’inizio de ‘900 va oltre nella pura astrazione quando con la dodecafonia rinuncia al suo dato "concreto", fornito dal vecchio sistema tonale nel quale chiunque è in grado di "capire" una musica, potendo dire, ad esempio, se il brano è finito o se è sospeso, nello stesso modo per cui vedendo una tela sappiamo riconoscere se rappresenta un volto o una mela. La pittura astratta sta alla pittura tradizionale come la dodecafonia sta alla musica tonale. Anche questa evoluzione è legata a concetti matematici: i dodici suoni della scala cromatica, tutti ugualmente importanti nel pensiero di Schönberg, vengono numerati per formare una serie e questa serie viene ripetuta, sempre con la stessa struttura con diverse possibilità, per formare il materiale per la composizione. Nel ‘900 la matematica è presente ancora nella struttura compositiva delle opere di Stockhausen ed ancor più di Xenakis, tanto per citare due dei più importanti musicisti del secolo scorso, con prodotti che, nonostante il passare degli anni, risultano ancora difficili per la maggior parte delle nostre orecchie: la struttura di queste musiche, che deve molto alla visione astratta della musica e non indulge neanche un po’ alla ricerca del gradimento dell’orecchio, richiede talvolta una competenza più raffinata accanto alla disponibilità di disporsi ad un ascolto privo di preconcetti ed aspettative, dove contano la lettura tecnica dell’opera o la capacità di gustare il suono nella sua mutevole "corporeità".
Alla portata di molti giovani delle nostre scuole ci sono oggi tutte le innovazioni tecnologiche favorite dall’informatica, assolutamente fondamentali nella produzione e della riproduzione della musica. Tutta la musica dei nostri giorni è legata al mondo dell’elettronica, dal pianoforte digitale, surrogato più economico e flessibile di quello tradizionale, alle possibilità di comporre e produrre, registrare, modificare qualsiasi genere di musica, anche facendo a meno di voci o strumenti reali.

· a proposito di numeri….. : il numero 12 è anche ricorrente in musica: 12 sono semitoni della scala cromatica, 24 sono le scale effettive del sistema tonale, di qui 24 i Preludi e Fuga del Clavicembalo ben temperato di Bach, 12 per due sono le due raccolte di Studi op. 10 e op.25 di Chopin e 24 sono i suoi Preludi op. 28, 24 sono i preludi per pianoforte di Sciostakovic, per non dire delle corrispondenze numeriche nelle opere di Bach e …. chi più ne ha, più ne metta!

D.S. prof. G.M. Cavallo
L.S.S. " P. Gobetti" Torino