4) Matematica e arte
figurativa
Introduzione
Nell'arte figurativa e nell'architettura, il concetto di armonia è stato interpretato, nell’ambito di alcune correnti di pensiero, mediante leggi numeriche che stanno alla base di particolari proporzioni.
Sembra che già nell’antico Egitto e a Babilonia si parlasse di un particolare tipo di rapporto chiamato rapporto divino.
Nel 300 a.C. Euclide, il noto matematico di Alessandria d’Egitto, descrisse la sezione aurea, chiamandola proporzione estrema e media.
Veniva definito su un segmento AB diviso in un punto C tale che AB/AC=AC/CB. Il valore è pari al numero irrazionale 1,61803...
Vediamo come è possibile partire dal segmento AB per costruire la sua sezione aurea (SCHEDA1 e SCHEDA 2)
Da un punto di vista più squisitamente numerico, il rapporto che si ottiene con la sezione aurea è un numero decimale illimitato non periodico, ovvero un numero irrazionale come p (pigreco). Tale numero viene indicato con j (phi) (vedere SCHEDA 8)
Il numero j è legato alla serie di Fibonacci (vedere SCHEDA 9)
I numeri di Fibonacci si ritrovano in natura in molti contesti, dalla biologia alla botanica.
Tali numeri si ritrovano anche nelle arti maggiori in quanto il rapporto aureo, particolarmente in pittura e in architettura, sembra dare alla visione dello spettatore la sensazione di geometrica armonia.
Lo spettatore è quasi sicuramente condizionato da canoni estetici e da modelli cultural,i ma forse anche perché c’è qualcosa di più profondo nell’inconscio che ci porta inevitabilmente a preferire certi rapporti. A questo proposito si può osservare come il rapporto aureo si ritrova non solo nelle civiltà "occidentali" ma anche in civiltà lontane, certamente non condizionate dai nostri modelli, come per esempio la piramide di Teotiuacan in Messico.
Le piramidi
Nelle piramidi si generano dei triangoli particolari
(vedere SCHEDA 3 e SCHEDA 4)
In letteratura si sostiene che in realtà la Grande Piramide di Cheope fu costruita per soddisfare un ideale di mezzo j (1/2 phi= 0,809017) che, moltiplicato per la lunghezza della base, dà l’altezza dello spigolo. La Grande Piramide si discosta dello 0,15 per cento da questo ideale. Una piramide ideale che si servisse tanto del rapporto di p (pi greco) quanto quello di j è matematicamente impossibile.
Costanti fisse nel rapporto tra le varie misure della piramide di Cheope sono due numeri molto singolari:
p = 3,1415592654
j = 1,618033989 (sezione aurea)
L'antica Grecia
Pitagora studiò il decagono regolare inscritto in una circonferenza e costruì il pentagono regolare intrecciato o stellato, congiungendo un vertice si e uno no del decagono. Questa figura, che i Pitagorici chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia assumendola come loro segno di riconoscimento, assunse una particolare importanza come simbolo dell’armonia e come punto di partenza per generare la sezione aurea in quanto il raggio della circonferenza circoscritta rappresenta la sezione aurea del lato (vedere SCHEDA 5)
Nel facciata del PARTENONE il rettangolo aureo si trova ripetuto più volte e il timpano è un triangolo particolare. Se da un rettangolo aureo si taglia un quadrato si ottiene ancora un rettangolo aureo . (vedere SCHEDA 6) Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi, in particolare il Partendone. L’obiettivo era quello di conferire agli edifici l’idea di equilibrio e di perfezione, di raggiungere l’Armonia universale.
L'epoca romana
Anche in epoca romana, nell’arco di Costantino la divina proporzione venne rispettata integralmente: nella distribuzione dei tre settori del fronte suddivisi dalle colonne, nell’altezza dei fornici, nel rettangolo aureo di altezza complessiva della parte centrale da cui si ricava il quadrato aureo nella parte del fregio. I settori laterali sottostanti il fregio presi a sé ripropongono di nuovo il rettangolo aureo dopo aver tagliato il quadrato aureo (area dei medaglioni soprastanti i fornici), rettangolo che è comunque proporzionale al rettangolo aureo dell’area centrale.
Forse il PANTHEON ricostruito tra il 118 e il 128 dopo Cristo proprio perché edificio dedicato a tutti gli dei è forse uno dei monumenti più stupefacenti dell’antichità le cui dimensioni sono quasi soprannaturali.
Molto significativa è la suddivisione in cinque anelli concentrici di 28 cassettoni nella cupola emisferica via via degradanti versol’alto: il numero 28 infatti in matematica è il "numero perfetto" inquanto uguale alla somma dei suoi divisori (28=1+2+4+7+14), la scelta del 28 è sicuramente stata fatta per simboleggiare il divino.
La BASILICA DI MASSENZIO fu inizialmente fatta costruire dall'imperatore Massenzio agli inizi del IV secolo, sull'area degli Horrea Piperitaria (i vecchi magazzini per la lavorazione delle spezie) e sulle rovine del Tempio della Pace.
Lo schema costruttivo del gigantesco edificio, di cui resta oggi soltanto il lato nord, era quello classico con la navata centrale più larga e più alta e le due laterali gemelle ed il tutto sorretto da volte a crociera poggiate su colonne di marmo alte 14,5 metri.
Fu probabilmente terminata da Costantino I che ne aprì l'ingresso sulla Via Sacra.
Ospitava una statua colossale seduta di Costantino costruita parte in marmo e parte in legname dorato. Alcune parti marmoree superstiti furono scoperte nel 1487 e sono ora nel cortile del Palazzo dei Conservatori sul Campidoglio.
Vissuto nel I secolo a.C., Marco Vitruvio Pollione descrisse anche le PROPORZIONI DEL CORPO UMANO e Leonardo da Vinci le immortalò col disegno a fronte, anche riprodotto sulla moneta italiana da 1 euro.
Il Medioevo
Durante il Medioevo si sviluppa uno stile architettonico che verrà chiamato GOTICO dai successivi umanisti del RINASCIMENTO. Molte Chiese costruite in questo periodo utilizzano il meccanismo della sezione aurea basato, però, sul triangolo. Tra di esse le francesi Cattedrale di Chartres, cattedrale di Beauvais, cattedrale di Amiens, cattedrale di Reims, cattedrale di St. Denis, CATTEDRALE DI SENS e le italiane SANTA MARIA DEL CARMINE, CERTOSA DI PAVIA. Anche il MONASTERO DI FONTE AVELLANA e il Palazzo Vecchio a Firenze utilizzano in parte questo procedimento. Gli uomini medioevali sono inoltre affascinati dai concetti di labirinto, Rapporto irrazionale e geometria sacra.
Notre Dame di Parigi è un edificio di particolare rilevanza rispetto alle figure geometriche che si desumono dal rettangolo aureo con la particolarità che ogni elemento della facciata: primo ordine, secondo ordine, i due campanili discendono dal rapporto aureo.
Se poi sulla facciata da un rettangolo aureo si taglia un quadrato si ottiene sempre ancora un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei sono stati usati per disegnare armonicamente la facciata e si ripetono poi nella pianta.
Anche per la CATTEDRALE DI CHARTRES, l’obiettivo era quello di conferire agli edifici l’idea di equilibrio e di perfezione, di raggiungere l’Armonia universale ma altresì di predisporre il fedele alla ideale ricongiunzione con Dio attraverso la geometria sacra e quindi legare concettualmente l’uomo in modo indissolubile al Creato.
La CATTEDRALE DI SANTIAGO DE COMPOSTELA, tipologicamente definita come "chiesa di pellegrinaggio" perché meta di uno dei più importanti itinerari di preghiera e di penitenza doveva stupire il pellegrino per grandezza ed imponenza (si raffronti anche con Chartres) ma anche per la bellezza della sue proporzioni architettoniche, in particolare all’interno, dove più volte nella pianta, ma anche nella sezione trasversale e sulla facciata, si individua il rettangolo aureo (anche nonostante i molti rimaneggiamenti avvenuti in tempi successivi alla costruzione)
Dal Rinascimento in poi la sezione aurea acquisì una specie di significato magico grazie a Luca Pacioli, matematico italiano che scrisse il De divina proporzione. L’aggettivo divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri che appartengono alla divinità: è unica nel suo genere, è trina perché abbraccia tre termini, indefinibile in quanto è irrazionale, è invariabile.
In questa opera illustrata da Leonardo da Vinci, si fa un’analisi delle caratteristiche delle forme architettoniche e del corpo umano per concludere che la proporzione legata alla sezione aurea si trova nelle opere umane e naturali più belle.
A partire da questa concezione, la sezione aurea viene associata al crisma della bellezza estetica, sia in natura che nell’arte.
In realtà, vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea. Gli artisti, quindi, tenderebbero inconsciamente o, in alcune epoche, consciamente a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti.
Il Rinascimento
Leonardo (1452 – 1519), nato a Vinci (FI) fu sicuramente tra i più grandi pittori che il Rinascimento conobbe. A sottolinearne il carattere mutevole e impaziente, il Vasari scrive di lui: " cominciò molte cose e nessuna mai finì ", cosciente che egli "non avrebbe mai potuto raggiungere la perfezione dell’arte nelle cose che si immaginava". Tuttavia egli cercò costantemente di avvicinarsi a questa utopica perfezione che si rispecchia nella ricerca delle leggi auree che regolano un gran numero dei suoi dipinti. Tra questi come non ricordare la famosissima MONNA LISA (altresì detta "Gioconda") e IL CENACOLO, anche noto come " l’Ultima cena".
Andrea Mantegna nacque a Padova nel 1431, nel 1460 si trasferì a Mantova dove visse per gran parte della sua vita. Nella dolce città lombarda Mantegna dimorò fino al 1506, anno della sua morte. La sua massima opera fu realizzata a Mantova nell’affresco della camera degli sposi, su richiesta di Ludovico II. Una particolare caratteristica che Mantegna da ai suoi dipinti risiede nell’effetto scultoreo duro e spigoloso che imprime sia alle figure che al paesaggio. Anche nell’architettura della sua DIMORA, progettata da Leon Battista Alberti, sono state identificate forme geometriche in sezione aurea
Leon Battista Alberti, nacque a Genova il 14 febbraio 1404 e morì nel 1472 a Roma. Fu architetto e cultore e come letterato compose tre trattati sulla pittura, sull’architettura e sulla scultura. Tra le sue opere più significative troviamo il tempio Malatestiano a Rimini, il palazzo Rucellài e la basilica di SANTA MARIA NOVELLA a Firenze e San Sebastiano e Sant’ Andrea a Mantova. Nella basilica di Santa Maria Novella e in palazzo Rucellài, l’Alberti ha fatto uso delle sue conoscenze sulla sezione aurea, inserendole sulla facciata dei due edifici.
Il simbolo della spirale è la geometrizzazione pura del Creato a partire dal rettangolo aureo. Infatti se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Ripetendo l’operazione per almeno cinque volte e poi unendo gli estremi dei due lati che formano l’angolo di partenza prescelto si traccia l’arco in linea continua che definisce la spirale. (vedere SCHEDA 7).
Leonardo Fibonacci
Per essere costruita segue la sequenza numerica di Leonardo Fibonacci. La spirale è presente in ARCHITETTURA, PITTURA e NATURA.
Allo stesso modo si può riproporre la spirale logaritmica, mettendola in relazione con i numeri di Fibonacci in quanto costruendo una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti e se poi li ordiniamo e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è appunto una spirale logaritmica.
La sezione aurea ai giorni nostri
La sezione aurea continua ad essere utilizzata dagli artisti come Le Corbusier e Mondrian: il primo la adotta nelle sue architetture, rispettando le proporzioni del Modulor, mentre il secondo le utilizza come schema base dei suoi dipinti dell'ultimo periodo che si rifanno alla corrente dell'astrattismo
Liceo "Norberto Rosa",
Indirizzi Scientifico e Scientifico Tecnologico
Introduzione
Nell'arte figurativa e nell'architettura, il concetto di armonia è stato interpretato, nell’ambito di alcune correnti di pensiero, mediante leggi numeriche che stanno alla base di particolari proporzioni.
Sembra che già nell’antico Egitto e a Babilonia si parlasse di un particolare tipo di rapporto chiamato rapporto divino.
Nel 300 a.C. Euclide, il noto matematico di Alessandria d’Egitto, descrisse la sezione aurea, chiamandola proporzione estrema e media.
Veniva definito su un segmento AB diviso in un punto C tale che AB/AC=AC/CB. Il valore è pari al numero irrazionale 1,61803...
Vediamo come è possibile partire dal segmento AB per costruire la sua sezione aurea (SCHEDA1 e SCHEDA 2)
Da un punto di vista più squisitamente numerico, il rapporto che si ottiene con la sezione aurea è un numero decimale illimitato non periodico, ovvero un numero irrazionale come p (pigreco). Tale numero viene indicato con j (phi) (vedere SCHEDA 8)
Il numero j è legato alla serie di Fibonacci (vedere SCHEDA 9)
I numeri di Fibonacci si ritrovano in natura in molti contesti, dalla biologia alla botanica.
Tali numeri si ritrovano anche nelle arti maggiori in quanto il rapporto aureo, particolarmente in pittura e in architettura, sembra dare alla visione dello spettatore la sensazione di geometrica armonia.
Lo spettatore è quasi sicuramente condizionato da canoni estetici e da modelli cultural,i ma forse anche perché c’è qualcosa di più profondo nell’inconscio che ci porta inevitabilmente a preferire certi rapporti. A questo proposito si può osservare come il rapporto aureo si ritrova non solo nelle civiltà "occidentali" ma anche in civiltà lontane, certamente non condizionate dai nostri modelli, come per esempio la piramide di Teotiuacan in Messico.
Le piramidi
Nelle piramidi si generano dei triangoli particolari
(vedere SCHEDA 3 e SCHEDA 4)
In letteratura si sostiene che in realtà la Grande Piramide di Cheope fu costruita per soddisfare un ideale di mezzo j (1/2 phi= 0,809017) che, moltiplicato per la lunghezza della base, dà l’altezza dello spigolo. La Grande Piramide si discosta dello 0,15 per cento da questo ideale. Una piramide ideale che si servisse tanto del rapporto di p (pi greco) quanto quello di j è matematicamente impossibile.
Costanti fisse nel rapporto tra le varie misure della piramide di Cheope sono due numeri molto singolari:
p = 3,1415592654
j = 1,618033989 (sezione aurea)
L'antica Grecia
Pitagora studiò il decagono regolare inscritto in una circonferenza e costruì il pentagono regolare intrecciato o stellato, congiungendo un vertice si e uno no del decagono. Questa figura, che i Pitagorici chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia assumendola come loro segno di riconoscimento, assunse una particolare importanza come simbolo dell’armonia e come punto di partenza per generare la sezione aurea in quanto il raggio della circonferenza circoscritta rappresenta la sezione aurea del lato (vedere SCHEDA 5)
Nel facciata del PARTENONE il rettangolo aureo si trova ripetuto più volte e il timpano è un triangolo particolare. Se da un rettangolo aureo si taglia un quadrato si ottiene ancora un rettangolo aureo . (vedere SCHEDA 6) Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi, in particolare il Partendone. L’obiettivo era quello di conferire agli edifici l’idea di equilibrio e di perfezione, di raggiungere l’Armonia universale.
L'epoca romana
Anche in epoca romana, nell’arco di Costantino la divina proporzione venne rispettata integralmente: nella distribuzione dei tre settori del fronte suddivisi dalle colonne, nell’altezza dei fornici, nel rettangolo aureo di altezza complessiva della parte centrale da cui si ricava il quadrato aureo nella parte del fregio. I settori laterali sottostanti il fregio presi a sé ripropongono di nuovo il rettangolo aureo dopo aver tagliato il quadrato aureo (area dei medaglioni soprastanti i fornici), rettangolo che è comunque proporzionale al rettangolo aureo dell’area centrale.
Forse il PANTHEON ricostruito tra il 118 e il 128 dopo Cristo proprio perché edificio dedicato a tutti gli dei è forse uno dei monumenti più stupefacenti dell’antichità le cui dimensioni sono quasi soprannaturali.
Molto significativa è la suddivisione in cinque anelli concentrici di 28 cassettoni nella cupola emisferica via via degradanti versol’alto: il numero 28 infatti in matematica è il "numero perfetto" inquanto uguale alla somma dei suoi divisori (28=1+2+4+7+14), la scelta del 28 è sicuramente stata fatta per simboleggiare il divino.
La BASILICA DI MASSENZIO fu inizialmente fatta costruire dall'imperatore Massenzio agli inizi del IV secolo, sull'area degli Horrea Piperitaria (i vecchi magazzini per la lavorazione delle spezie) e sulle rovine del Tempio della Pace.
Lo schema costruttivo del gigantesco edificio, di cui resta oggi soltanto il lato nord, era quello classico con la navata centrale più larga e più alta e le due laterali gemelle ed il tutto sorretto da volte a crociera poggiate su colonne di marmo alte 14,5 metri.
Fu probabilmente terminata da Costantino I che ne aprì l'ingresso sulla Via Sacra.
Ospitava una statua colossale seduta di Costantino costruita parte in marmo e parte in legname dorato. Alcune parti marmoree superstiti furono scoperte nel 1487 e sono ora nel cortile del Palazzo dei Conservatori sul Campidoglio.
Vissuto nel I secolo a.C., Marco Vitruvio Pollione descrisse anche le PROPORZIONI DEL CORPO UMANO e Leonardo da Vinci le immortalò col disegno a fronte, anche riprodotto sulla moneta italiana da 1 euro.
Il Medioevo
Durante il Medioevo si sviluppa uno stile architettonico che verrà chiamato GOTICO dai successivi umanisti del RINASCIMENTO. Molte Chiese costruite in questo periodo utilizzano il meccanismo della sezione aurea basato, però, sul triangolo. Tra di esse le francesi Cattedrale di Chartres, cattedrale di Beauvais, cattedrale di Amiens, cattedrale di Reims, cattedrale di St. Denis, CATTEDRALE DI SENS e le italiane SANTA MARIA DEL CARMINE, CERTOSA DI PAVIA. Anche il MONASTERO DI FONTE AVELLANA e il Palazzo Vecchio a Firenze utilizzano in parte questo procedimento. Gli uomini medioevali sono inoltre affascinati dai concetti di labirinto, Rapporto irrazionale e geometria sacra.
Notre Dame di Parigi è un edificio di particolare rilevanza rispetto alle figure geometriche che si desumono dal rettangolo aureo con la particolarità che ogni elemento della facciata: primo ordine, secondo ordine, i due campanili discendono dal rapporto aureo.
Se poi sulla facciata da un rettangolo aureo si taglia un quadrato si ottiene sempre ancora un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei sono stati usati per disegnare armonicamente la facciata e si ripetono poi nella pianta.
Anche per la CATTEDRALE DI CHARTRES, l’obiettivo era quello di conferire agli edifici l’idea di equilibrio e di perfezione, di raggiungere l’Armonia universale ma altresì di predisporre il fedele alla ideale ricongiunzione con Dio attraverso la geometria sacra e quindi legare concettualmente l’uomo in modo indissolubile al Creato.
La CATTEDRALE DI SANTIAGO DE COMPOSTELA, tipologicamente definita come "chiesa di pellegrinaggio" perché meta di uno dei più importanti itinerari di preghiera e di penitenza doveva stupire il pellegrino per grandezza ed imponenza (si raffronti anche con Chartres) ma anche per la bellezza della sue proporzioni architettoniche, in particolare all’interno, dove più volte nella pianta, ma anche nella sezione trasversale e sulla facciata, si individua il rettangolo aureo (anche nonostante i molti rimaneggiamenti avvenuti in tempi successivi alla costruzione)
Dal Rinascimento in poi la sezione aurea acquisì una specie di significato magico grazie a Luca Pacioli, matematico italiano che scrisse il De divina proporzione. L’aggettivo divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri che appartengono alla divinità: è unica nel suo genere, è trina perché abbraccia tre termini, indefinibile in quanto è irrazionale, è invariabile.
In questa opera illustrata da Leonardo da Vinci, si fa un’analisi delle caratteristiche delle forme architettoniche e del corpo umano per concludere che la proporzione legata alla sezione aurea si trova nelle opere umane e naturali più belle.
A partire da questa concezione, la sezione aurea viene associata al crisma della bellezza estetica, sia in natura che nell’arte.
In realtà, vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea. Gli artisti, quindi, tenderebbero inconsciamente o, in alcune epoche, consciamente a disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti.
Il Rinascimento
Leonardo (1452 – 1519), nato a Vinci (FI) fu sicuramente tra i più grandi pittori che il Rinascimento conobbe. A sottolinearne il carattere mutevole e impaziente, il Vasari scrive di lui: " cominciò molte cose e nessuna mai finì ", cosciente che egli "non avrebbe mai potuto raggiungere la perfezione dell’arte nelle cose che si immaginava". Tuttavia egli cercò costantemente di avvicinarsi a questa utopica perfezione che si rispecchia nella ricerca delle leggi auree che regolano un gran numero dei suoi dipinti. Tra questi come non ricordare la famosissima MONNA LISA (altresì detta "Gioconda") e IL CENACOLO, anche noto come " l’Ultima cena".
Andrea Mantegna nacque a Padova nel 1431, nel 1460 si trasferì a Mantova dove visse per gran parte della sua vita. Nella dolce città lombarda Mantegna dimorò fino al 1506, anno della sua morte. La sua massima opera fu realizzata a Mantova nell’affresco della camera degli sposi, su richiesta di Ludovico II. Una particolare caratteristica che Mantegna da ai suoi dipinti risiede nell’effetto scultoreo duro e spigoloso che imprime sia alle figure che al paesaggio. Anche nell’architettura della sua DIMORA, progettata da Leon Battista Alberti, sono state identificate forme geometriche in sezione aurea
Leon Battista Alberti, nacque a Genova il 14 febbraio 1404 e morì nel 1472 a Roma. Fu architetto e cultore e come letterato compose tre trattati sulla pittura, sull’architettura e sulla scultura. Tra le sue opere più significative troviamo il tempio Malatestiano a Rimini, il palazzo Rucellài e la basilica di SANTA MARIA NOVELLA a Firenze e San Sebastiano e Sant’ Andrea a Mantova. Nella basilica di Santa Maria Novella e in palazzo Rucellài, l’Alberti ha fatto uso delle sue conoscenze sulla sezione aurea, inserendole sulla facciata dei due edifici.
Il simbolo della spirale è la geometrizzazione pura del Creato a partire dal rettangolo aureo. Infatti se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un rettangolo aureo. Ripetendo l’operazione per almeno cinque volte e poi unendo gli estremi dei due lati che formano l’angolo di partenza prescelto si traccia l’arco in linea continua che definisce la spirale. (vedere SCHEDA 7).
Leonardo Fibonacci
Per essere costruita segue la sequenza numerica di Leonardo Fibonacci. La spirale è presente in ARCHITETTURA, PITTURA e NATURA.
Allo stesso modo si può riproporre la spirale logaritmica, mettendola in relazione con i numeri di Fibonacci in quanto costruendo una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti e se poi li ordiniamo e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è appunto una spirale logaritmica.
La sezione aurea ai giorni nostri
La sezione aurea continua ad essere utilizzata dagli artisti come Le Corbusier e Mondrian: il primo la adotta nelle sue architetture, rispettando le proporzioni del Modulor, mentre il secondo le utilizza come schema base dei suoi dipinti dell'ultimo periodo che si rifanno alla corrente dell'astrattismo
Liceo "Norberto Rosa",
Indirizzi Scientifico e Scientifico Tecnologico